求两个整数的最大公约数

最大公约数定义

最大公约数（最大公因数或最大公因子，英语：Greatest Common Divisor，简写为GCD）是几个大于0的整数公有约数中最大的一个。例如，16和40公约数有：1、2、4、8， 其中最大的是8，8就是16和40的最大公约数。找出最大公约数有助于将分数约简到最简形式。

最大公约数算法

• 分解质因数法
• 短除法
• 辗转相除法（欧几里德算法）

分解质因数法

该方法要先将两数分别分解质因数。怎样分解质因数，请见质因数分解页。

24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

找出这两个数的公有质因数。

24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

它们的公有质因数分别为2，2，3。24和60的最大公约数就是这几个公有质因数的乘积，也即2 × 2 × 3 = 12。

短除法

首先用最小公约数去除这两个数。24和60的最小公约数是2

2 24 60
12 30

继续使用这种方法对所得到的商进行分解，直到所得到的商互质为止

2 | 24 60
——————
2 | 12 30
——————
3 | 6 15
——————
2 5

将左边的数字连乘，所得到的乘积就是最大公约数。以上24和60的最大公约数就是2 × 2 × 3 = 12。

欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

算法证明

定理：gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)

证明：a 可以表示成 a = kb + r，则 r = a mod b
假设 d 是 a, b 的一个公约数，记作 d|a, d|b，即 a 和 b 都可以被 d 整除。
而 r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，等式左边可知m为整数(a/d是整数, b/d 是整数)，因此d|r
因此 d 也是（b, a mod b）的公约数
因此（a, b）和（b, a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

欧几里得算法实现

int gcd(int m, int n){
    if (n == 0){
        return m;
    }
    return divisor(n, m % n);
}

迭代实现

int gcd(int a, int b) {
    while(b != 0) {
        int r = b;
        b = a % b;
        a = r;
    }
    return a;
}

扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p a+q b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

代码实现扩展欧几里德算法

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if(b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exGcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return r;
}

把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a’ = b, b’ = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a’x + b’y = Gcd(a’, b’)
由于b’ = a % b = a - a / b b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a’x + b’y = Gcd(a’, b’) ===>
bx + (a - a / b b)y = Gcd(a’, b’) = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / by) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/by)

Stein算法

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。

考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。 （注：说到抛弃除法和取模，其实辗转相除法可以写成减法的形式)

Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。

为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

有了上述规律就可以给出Stein算法如下：

如果A=0，B是最大公约数，算法结束
如果B=0，A是最大公约数，算法结束
设置A1 = A、B1=B和C1 = 1
如果An和Bn都是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn /2，Cn+1 =Cn *2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)
如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1 =Bn /2，An+1 =An ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)
如果An和Bn都不是偶数，则An+1 =|An -Bn|，Bn+1 =min(An,Bn)，Cn+1 =Cn
n++，转4
这个算法的原理很显然，所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。

代码实现Stein算法

```java
int Gcd(int a, int b) {
if(a == 0) {
return b;
}
if(b == 0) {
return a;
}
if (a % 2 == 0 && b % 2 == 0) {
return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1);
} else if (a % 2 == 0) {
return gcd(a >> 1, b);
} else if(b % 2 == 0) {
return gcd(a, b >> 1);
} else {
return gcd(abs(a - b), Min(a, b));
}
}

考虑欧几里德算法，最恶劣的情况是，每次迭代a = 2b -1,这样，迭代后，r= b-1。如果a小于2N，这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法，每次迭代后，显然AN+1BN+1≤ ANBN/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数Stein将更有优势

参考

http://baike.baidu.com/view/1241014.htm
https://www.idomaths.com/zh-Hans/hcflcm.php